Edelmanの公式と、ナトリウムの公式の数学的な証明（解説）
Edelmanの公式と、ナトリウムの公式の数学的な証明（解説）
Edelmanの式というのがあります。
総陽イオン濃度
血清ナトリウム濃度＝--------------------------------------
体液量（TBW)
この総陽イオンが、ナトリウム・カリウムのin-outで決まる、という公式です。
それを、もう少し分かりやすく、使いやすいように
inと尿のoutで表すと、上記のような式になります。
では、この公式の、特にカリウムが意味不明だと思いますので解説します。
そのために、まず前提として知っておいていただかないといけない知識が
・細胞膜の性質（半透膜で、水を自由に通す性質）
・細胞内液と細胞外液の組成（細胞外はNaが多く、細胞内はKが多い）
・血漿浸透圧は、粒の数の割合で決まる
の３つです。
（上の3つを、なんとなくでも見たことあるよ、という状態で、以下を読んでいただければと思います。）
この式を、少しずつ説明します。
①まず、血漿浸透圧の計算式です。
血漿浸透圧＝2Na + 血糖÷18 + BUN/2.8
で計算されます。（これは国家試験とかでも出ますよね）
解説を加えると、
２×Naというのは、Naの粒の数と同じ数だけ陰イオンがあるからです。
粒の数だけ浸透圧は増えるので、倍になります。
このうち、血糖はふつう90くらいなので、90/18をすると、約5くらいで、
非常に微々たるものになります。なので消します。
BUNは、細胞内外を行き来できるため、実は細胞内外の水を引っ張る力（正式には張度と読んだり、有効浸透圧と呼びます）には、計算されません。
血漿浸透圧＝2Na + 血糖÷18 + BUN/2.8
の式は、
血漿浸透圧≒2Na
と近似することが出来ます。
②体全体の浸透圧は、血清浸透圧と釣り合う
体の細胞膜は半透膜なので、水の行き来をして細胞内外の浸透圧が釣り合って、定常状態となっています。
http://kensyui.com/entry20.htmlを参考にしていただくと
よりわかると思います。
このように、水を左右で引っ張りあって、細胞内にも細胞外にも水がある状態であるので、
左右が釣り合っている状態、というように考えられるのです。
細胞内の浸透圧＝血漿浸透圧＝体全体の浸透圧
と考えることができます。
③体全体の浸透圧を考えよう
浸透圧は、粒の数の割合です。
体全体の浸透圧＝体全体のイオンの総数÷体液量
浸透圧物質は、ほぼイオンなので、上記のように考えることができます。
陽イオンに関しては
細胞内はカリウムが殆どで、細胞外はナトリウムが殆どです。
なので、陽イオンと同じだけの陰イオンがあると計算すると
総イオン（体全体のイオン）は、細胞外液のNa(mEq)×2+細胞内液のK(mEq)×2と考えることができます。
すると、体全体の浸透圧は、このような式で表すことができます。
細胞外液のナトリウム(mEq)×2 + 細胞内のカリウム総量(mEq)×2
体全体の浸透圧＝----------------------------------------------
体液量（TBW)
体の中の陽イオンは、ほとんどがNa、Kなので、このように考えます。
さて、ここで、体全体の浸透圧は、血清の浸透圧と等しいということを思い出しましょう。
体全体の浸透圧＝血清の浸透圧≒2Na(mEq/L)と近似できる、ということも思い出しましょう。
すると
血清浸透圧＝2Na(mEq/L)＝体全体の浸透圧
細胞外液のナトリウム(mEq)×2 + 細胞内のカリウム総量(mEq)×2
血清浸透圧＝-------------------------------------
体液量（TBW)
の式に変換できます。
すると、
細胞外液のナトリウム(mEq)×2 + 細胞内のカリウム総量(mEq)×2
2Na(mEq/L)＝---------------------------------------------------
体液量（TBW)(L)
となり、両辺を2で割ると
細胞外液のナトリウム + 細胞内のカリウム総量
Na＝-------------------------------------------------------
体液量（TBW)
ナトリウムとカリウムを合わせて、総陽イオンと考えるので
総陽イオン
Na＝-------------------------------------------------------
体液量（TBW)
というEdelmanの式と同じになります。
なので、ナトリウムでもカリウムであっても、体の中の陽イオンが増加すれば、血清のNa濃度は上昇し
ナトリウムであってもカリウムであっても、体の中の陰イオンが減少すれば、血清のNa濃度は下がります。
入れる陽イオン・出る陽イオンは殆どがナトリウム・カリウムなので
そのように近似し、計算が出来ます。
ちょっと複雑にみえるかもしれませんが、実は少しずつ学んできた知識を合わせると
このように近似することができるようになります。
ツイートナトリウムの公式
上記の式をもう少し臨床的に使い易くした、
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